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Mi interés por las relaciones entre la música y las matemáticas comenzó a una edad temprana. Mi abuelo tocaba su violín para mí cuando yo tenía unos cinco años, y aún lo recuerdo claramente. Más tarde me explicó varios temas de su libro de física, que él mismo había estudiado de joven. En el capítulo sobre el sonido había un pentagrama musical con la nota La, y al lado el número 440, la frecuencia de esa nota. Aquella imagen debió de grabarse en mi mente: mi primera visión del papel que desempeñan los números en la música. Aunque el violín de mi abuelo ya no está con nosotros, su diapasón sobrevivió; aunque oxidado, sigue vibrando fielmente a 440 ciclos por segundo. Hace poco se lo regalé a mi nieto percusionista. Espero que algún día se lo pase a sus nietos.
Pero no es suficiente.
Pero no basta con estudiar música: hay que tocarla. Yo empecé mi andadura musical tocando una flauta dulce. Existen numerosas obras de la época barroca para este sencillo instrumento, pero para apreciar la música clásica (“clásica” significa aquí la época de Haydn, Mozart y Beethoven, aproximadamente de 1750 a 1830), una flauta dulce no es suficiente, así que empecé a tocar el clarinete. Este era el instrumento de viento favorito de Mozart, que escribió para él -o más bien para su amigo, el clarinetista Anton Stadler- parte de su música más sublime. El clarinete tiene la particularidad de que, al abrir el orificio del pulgar en la parte posterior del instrumento, el sonido no sube una octava, como en la mayoría de los instrumentos de viento, sino una doceava, es decir, una octava y una quinta. Esto me intrigó mucho y me hizo profundizar en la acústica de los instrumentos de viento. Me fascinaba -y aún me fascina- el hecho de que una columna de aire pueda vibrar y producir un sonido musical igual que una cuerda de violín, aunque las vibraciones sean totalmente invisibles: puedes escucharlas, pero no puedes verlas.
La música y las matemáticas son dos cosas que no se ven.
La música y las matemáticas siempre han estado íntimamente entrelazadas. Cualquiera que haya tocado alguna vez un instrumento musical es consciente de la presencia de las matemáticas en cada página de la partitura: desde el compás que marca el ritmo de una pieza, hasta el número del metrónomo que determina la velocidad a la que debe tocarse la pieza; y, por supuesto, el propio acto de tocar música requiere que contemos 1, 2, 3… y que organicemos estos números en grupos, llamados compases o medidas. Así pues, no es de extrañar que las matemáticas hayan influido notablemente en la música. Mucho menos conocido es que la influencia se extiende en ambos sentidos.
El filósofo griego Pitágoras, activo durante el siglo VI a.C., podría haber sido el primero en descubrir una relación cuantitativa entre la música y las matemáticas. Experimentando con cuerdas tensas, descubrió que acortar la longitud efectiva de una cuerda a la mitad de su longitud original eleva el tono de su sonido en un intervalo agradable, una octava. Otras proporciones de longitudes de cuerda producen intervalos menores: 2:3 corresponde al intervalo musical de una quinta (llamada así porque es la quinta nota en la escala desde la nota base); 3:4 correspondía a una cuarta; y así sucesivamente. Pitágoras descubrió también que multiplicar dos razones equivale a sumar sus intervalos: (2:3) x (3:4) = 1:2, por lo que una quinta más una cuarta es igual a una octava. Al hacerlo, inventó, sin saberlo, la primera ley logarítmica de la historia.
La octava, la quinta y la cuarta producían combinaciones agradables de tonos, o consonantes, mientras que proporciones más complicadas, como 9:8 o 15:16, daban lugar a disonancias. Esta revelación causó una profunda impresión en los pitagóricos, impulsándoles a creer que todo en el Universo -desde las leyes de la armonía musical hasta el movimiento del Sol, la Luna y los cinco planetas- se regía por simples proporciones de números enteros. Los números gobiernan el Universo era el lema pitagórico. Dominaría el pensamiento científico durante los dos milenios siguientes.
En la tradición griega, la música tenía el mismo rango que la aritmética, la geometría y la esfericidad (astronomía), que juntas formaban el quadrivium, el plan de estudios básico de cuatro disciplinas que se esperaba que dominara una persona culta. Sin embargo, debemos señalar que la palabra “aritmética” tenía para los pitagóricos un significado distinto del que tiene hoy: significaba teoría numérica, el estudio de las propiedades de los números enteros, más que las habilidades prácticas necesarias para calcular con números. Del mismo modo, los pitagóricos consideraban que el componente musical del quadrivium se refería a la teoría musical -el estudio de la armonía- más que a la práctica de la interpretación musical. Esto era típico de la actitud distante de los pitagóricos hacia todas las cosas prácticas. El suyo era un universo perfecto, regido por nociones de belleza, simetría y armonía, pero alejado de consideraciones mundanas. Tal vez fuera ésta una de las razones por las que mantenían en secreto todas sus discusiones, temiendo ser ridiculizados por sus conciudadanos, la inmensa mayoría de los cuales tenían que trabajar diariamente para ganarse la vida a duras penas.
Pero ninguno de los pitagóricos ha sido capaz de comprender el significado de la palabra.
Aunque no se conservan escritos pitagóricos -si es que dejaron alguno (todo lo que sabemos de ellos procede de escritores muy posteriores)- el legado pitagórico duró más de 2.000 años. Los números gobiernan el Universo se convirtió en el lema de generaciones de científicos y filósofos, que trataban de explicar los misterios del cosmos basándose en proporciones musicales o en figuras geométricas sencillas y elegantes. Los planetas, por ejemplo, debían moverse alrededor de la Tierra en órbitas circulares perfectas; para los griegos era inconcebible que pudiera regir otra forma que no fuera el círculo perfectamente simétrico. Todo formaba parte de su gran visión de un Universo regido por la belleza y la armonía: su musica universalis, o música de las esferas.
Entre los últimos pitagóricos se encontraba el eminente astrónomo alemán Johannes Kepler (1571-1630), considerado uno de los padres de la astronomía moderna. A la vez devoto místico y ferviente creyente en el sistema heliocéntrico de Copérnico, Kepler pasó más de la mitad de su vida intentando deducir las leyes del movimiento planetario de las de la armonía musical. Creía que cada planeta, en su movimiento alrededor del Sol, toca una melodía que nuestros oídos son incapaces de oír, al estar por debajo del rango de frecuencias audibles (por no mencionar que se producía en el vacío del espacio, donde el sonido no puede propagarse). Incluso asignó a cada planeta una melodía celeste y la anotó en el pentagrama musical, resucitando la célebre musica universalis. Sólo tras décadas de seguir este camino ciego, Kepler abandonó finalmente las órbitas circulares griegas y las sustituyó por elipses.
Toda función periódica puede escribirse como una suma infinita de ondas sinusoidales puras
Medio siglo después de Kepler, Isaac Newton formuló su ley universal de la gravitación, proporcionando así una explicación racional y matemática de las órbitas planetarias, y añadiendo la parábola y la hipérbola a las posibles órbitas de los cuerpos celestes. Pero también estaba obsesionado con las proporciones musicales, ideando una “escala palindrómica” en la que los intervalos eran los mismos tanto si subías como si bajabas: 9:8, 16:15, 10:9, 9:8, 10:9, 16:15, 9:8. Lo comparó con los siete colores del arco iris del espectro.
El recién inventado cálculo diferencial e integral, desarrollado independientemente por Newton y G. W. Leibniz en la década de 1666-1676, permitió por fin asentar sobre una base matemática firme las relaciones entre las proporciones numéricas y la armonía musical. Uno de los problemas pendientes que pudo abordar el cálculo fue hallar la forma exacta de una cuerda vibrante y la naturaleza del sonido que produce. ¿Era la suma de muchas -quizá infinitas- ondas sinusoidales o tonos puros, cada uno con su propia frecuencia y amplitud? ¿O era una combinación de ondas que se propagaban de un lado a otro a lo largo de la cuerda? En lo que se conoció como el “Gran Debate de las Cuerdas”, cuatro de los matemáticos más importantes de Europa -Daniel Bernoulli, Leonhard Euler, Jean le Rond D’Alembert y Joseph Louis Lagrange- discutieron apasionadamente sobre esta cuestión y, de paso, sentaron las bases del análisis postcálculo.
Pero la solución definitiva al problema de las cuerdas tuvo que esperar otro medio siglo, cuando el eminente físico matemático francés Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) demostró que toda función periódica, sujeta a ciertas restricciones, puede escribirse como una suma infinita de ondas sinusoidales puras, cuyas frecuencias son múltiplos integrales de la frecuencia fundamental, la más baja de la función. Estas ondas sinusoidales individuales se conocen como sobretonos o armónicos; son los componentes básicos de todo sonido, y dan a cada sonido su característico color tonal, o timbre, la cualidad que distinguía el sonido de un violín del de un clarinete, incluso cuando tocaban la misma nota.
A medida que se ampliaban mis intereses musicales, me aventuré gradualmente más allá del periodo Barroco-Clásico-Romántico (aproximadamente de 1600 a 1900), y me orienté hacia la música moderna. En la década de 1960 aún se hablaba mucho de Arnold Schoenberg y su música atonal o serial. La ideó a principios del siglo XX, convencido de que debía sustituir a una piedra angular sagrada de la música clásica: el principio de tonalidad. La tonalidad exigía que una pieza musical girara en torno a una tonalidad determinada, llamada tónica, como Do mayor o Sol menor. Es cierto que, a medida que la pieza se desarrollaba, podía desviarse de su tonalidad designada hacia tonalidades afines o incluso remotas, pero en última instancia regresaba a su tonalidad de origen, la tónica. De este modo, la tonalidad servía como marco de referencia musical, en el que cada nota tenía una relación específica con la tónica; por ejemplo, en la tonalidad de Do mayor, la nota Sol (una quinta por encima de Do) era la nota “dominante”, mientras que la nota Fa por debajo de Do era la “subdominante”.
Dominante.
Pero en la segunda mitad del siglo XIX, los compositores empezaron a desviarse gradualmente de la estricta adhesión al principio de tonalidad, lo que dificultaba la percepción de la posición de la música en relación con la tónica. Schoenberg, convencido de que la tonalidad había llegado a su fin, se empeñó en sustituirla por la serie, o fila de tonos. En una serie, cada una de las 12 notas de la escala cromática de semitonos aparece exactamente una vez; una nota sólo podía repetirse una vez completada la serie. Esto daba al compositor un asombroso número de combinaciones entre las que elegir: 1 x 2 x 3 x … x 12 = 479.001.600, para ser exactos (sin contar los desplazamientos por octavas, que Schoenberg permitía). En la música serial regía la democracia total: ninguna nota tenía preferencia sobre las demás. Cada nota se relacionaba únicamente con su predecesora inmediata en la serie; desaparecían los papeles que las distintas notas habían desempeñado en relación con la tónica. En el fondo era un sistema matemático, y Schoenberg estaba decidido a imponerlo a la música.
Como matemático, veo una sorprendente similitud entre la música serial de Schoenberg y la teoría general de la relatividad de Albert Einstein, como si se produjera simultáneamente un desmantelamiento paralelo de las estructuras canónicas de la música y la física. En 1905, Einstein dio al éter su coup de grâce: no hay éter, ni un único marco de referencia universal en reposo absoluto; más bien, cada observador tiene su propio sistema de referencia, relacionado únicamente con su sistema vecino infinitesimalmente cercano en el espaciotiempo. No se puede dejar de observar la similitud con la música atonal de Schoenberg, en la que cada nota está relacionada sólo con su predecesora inmediata en la serie. Podrías llamarla música relativista. Schoenberg trabajó en el diseño de una máquina de escribir musical; Einstein inventó un frigorífico Schoenberg y Einstein fueron casi exactamente contemporáneos, nacieron con cinco años de diferencia en el seno de familias judías de clase media. Sus madres, ambas llamadas Pauline, estaban impregnadas de música clásica, por lo que los dos jóvenes se criaron en hogares melómanos. Empezaron sus carreras como empleados de bajo nivel: Schoenberg como empleado de banca en Viena, Einstein como empleado de la Oficina Suiza de Patentes en Berna. Muy jóvenes, ambos dieron la espalda al judaísmo tradicional, al que regresaron tardíamente, profundamente afectados por el auge del antisemitismo y el posterior Holocausto. Ambos fueron esencialmente autodidactas: Schoenberg nunca recibió una educación musical formal, mientras que Einstein (aunque se licenció en la Universidad de Zurich) se formó estudiando por su cuenta los grandes tratados de física del siglo XIX. La educación de Einstein fue autodidacta. Tras la llegada de los nazis al poder en 1933, ambos emigraron a Estados Unidos. Schoenberg se deshizo inmediatamente de la diéresis alemana de su nombre original, Schönberg, mientras que Einstein tuvo que acostumbrarse a la pronunciación estadounidense de su nombre (pronunciado “Einshtein” en alemán). Ambos se dedicaban con pasión a sus aficiones: Schoenberg era pintor y ávido jugador de tenis, Einstein tocaba su emblemático violín y disfrutaba paseando en su pequeño velero. También les gustaba trastear con artilugios: Schoenberg trabajó en el diseño de una máquina de escribir musical, mientras que Einstein, con su colega físico Leo Szilard, inventó y patentó un frigorífico. Tras el despido nazi de todos los profesores judíos de las universidades alemanas, ambos trabajaron incansablemente para ayudar a los académicos desplazados a encontrar trabajo en sus países de refugio. Ni Schoenberg ni Einstein volvieron a pisar suelo europeo (aunque los restos de Schoenberg fueron enterrados en su Viena natal), y murieron en el mismo lapso de tiempo que les separó al nacer, a los 76 años. Las ideas revolucionarias de Einstein y Schoenberg se produjeron en un contexto de cambios revolucionarios en otros campos, todo ello a medida que el siglo XIX se convertía en el XX. Gustav Mahler estrenó su Primera Sinfonía, Titán (1889), dirigida por el propio compositor. Sigmund Freud publicó su primera obra importante, La interpretación de los sueños (1900), Pablo Picasso entró en su “Periodo Azul” (1901-1904) y Max Planck introdujo en la física un nuevo concepto que pronto revolucionaría toda la ciencia: el cuanto de energía. Por si fuera poco, David Hilbert, el matemático más importante de Alemania a principios de siglo, desafió al Segundo Congreso Internacional de Matemáticos, celebrado en París en 1900, con una lista de 23 problemas sin resolver cuya solución consideraba de suma importancia para el futuro desarrollo de las matemáticas, como así fue. Es difícil saber si estos avances tuvieron algún efecto en el trabajo de Einstein y Schoenberg, pero es revelador que varios de los actores de este nuevo mundo estuvieran activamente implicados en la música: A Einstein le viene inmediatamente a la mente el violín; Planck era un consumado pianista; y el físico Werner Heisenberg, ganador del Premio Nobel, consideró seriamente la posibilidad de dedicarse a la música antes de dedicarse a la mecánica cuántica. En su búsqueda de la música, Einstein se dedicó a la mecánica cuántica. Tal vez Pitágoras tuviera razón en su intento de unificar la música y las matemáticas bajo un único paraguas universal. La música según los números: From Pythagoras to Schoenberg de Eli Maor ya está a la venta a través de Princeton University Press. ” ••• es ex profesor de Historia de las Matemáticas en la Universidad Loyola de Chicago. Es autor de ocho libros anteriores, el último de los cuales es Music by the Numbers: De Pitágoras a Shoenberg (2018).
